Die Mathematik ist in verschiedene Teilgebiete aufgeteilt, die einzelne Details oder bestimmte Aspekte betrachten. Diese Teilgebiete sind wiederum miteinander durch Zusammenhänge verbunden und teilweise gegenseitig ihre Basis. Die grundsätzlichen Teilgebiete der Mathematik sind die Algebra, die Analysis, die Topologie und Geometrie sowie die Logik und Mengenlehre. Worum sich diese einzelnen Felder jeweils drehen wird nun kurz beschrieben:

Algebra

Unter Algebra versteht man allgemein das Rechnen mit Gleichungen. Dabei werden Unbekannte mit einem Buchstaben statt einer Zahl dargestellt. Das Wort Algebra stammt aus dem Arabischen und steht für “das Zusammenfügen gebrochener Teile”. Der Teil der Algebra, der zur Schulmathematik zählt, ist auch als elementare Algebra bekannt. Zu ihr gehören alle Rechenregeln der natürlichen und ganzen Zahlen sowie gebrochenen und reellen Zahlen. Ebenso geregelt ist, wie mit Ausdrücken, welche Variablen enthalten können, umzugehen ist. Natürlich sind auch Lösungswege zu einfachen algebraischen Gleichungen Teil der Materie.

Ein Teilgebiet der Algebra sind die grundsätzlichen Rechenoperationen mit Zahlen, die auch als Arithmetik bezeichnet werden und im ältesten erhaltenen Rechenbuch “Arithmetica” enthalten sind. Dabei geht es um Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, aber auch um die Teilbarkeitslehre, respektive um die Division mit Rest. “Artithmetica” geht je nach Quelle auf rund 100 Jahre vor bis rund 400 Jahre nach Christus zurück und ist eines der grundlegenden Werke der Mathematik. Das Lehr- und Aufgabenbuch umfasst in seiner ursprünglichen Fassung 13 Bände.

Analysis

Die Grundlage zu zahlreichen mathematischen Zusammenhängen in den Naturwissenschaften ist seit mehreren hundert Jahren die Analysis. Sie befasst sich mit differenzierbaren Abbildungen zwischen topologischen Räumen und bewegt sich dabei in den reellen und in den komplexen Zahlen sowie in Mannigfaltigkeiten und Hilbert-Räumen. Gewisse Zusammenhänge gehen auch über diese Zahlenräume hinaus. Die bekanntesten Abläufe innerhalb der Analysis sind jene der Infinitesimalrechnung: Differentialrechnung und Integralrechnung. Den griechischen Ursprüngen der Analysis folgend geht es dabei um die Auflösung von impliziten Gleichungen

Topologie und Geometrie

Bei der Topologie geht es darum, Räume mathematisch zu begründen und auch darzustellen. Die Grundsätze dafür finden sich wiederum in der Analysis und in der Funktionentheorie, die sich aus der Analysis entwickelt hat. Wichtige Begriffe sind dabei unter anderem die Stetigkeit und der Grenzwert. Diese sagen viel über eine geometrische Form aus, in dem sie ihren Verlauf exakt beschreiben. Besonders übersichtlich sind so genannte Metrische Räume. Ihre Topologie ist von einer Metrik abgeleitet und sie sind zudem als uniforme Räume sehr einfach anschaulich. Das Wort Topologie stammt aus der griechischen Sprache und bedeutet zu Deutsch in etwa “Lehre des Ortes”.

Logik und Mengenlehre

Eine Grundlage für die schriftliche Darstellung in der Mathematik ist die Mengenlehre. Verglichen mit anderen Teilgebieten ist die Mengenlehre ein sehr junges Konstrukt, da sie ihren Ursprung in der heutigen Form erst in der Grundlagenkrise der Mathematik, ganz früh im 20. Jahrhundert, hat.

Die Mengenlehre ist ein Teil der mathematischen Logik, zu der auch die Modelltheorie, die Beweistheorie und die Rekursionstheorie gehören. Früher war in diesem Zusammenhang auch von der symbolischen Logik (im Gegensatz zur Logik der Philosophie) die Rede. Die moderne mathematische Logik zeichnet sich durch ihre symbolhafte Ausdrucksweise aus. Diese Ausdrucksweise hat die in natürlicher Sprache formulierte Logik von Aristoteles zum Ende des 19. Jahrhunderts allmählich abgelöst.